Serie de Bell

En matemática, una serie de Bell es una serie de potencias formal utilizada para estudiar la propiedades de funciones aritméticas. Las series de Bell fueron introducidas y desarrolladas por Eric Temple Bell.

Dada una función aritmética $f$ y un número primo $p$ , se define la serie de potencias formal $f_{p}(x)$ , llamada serie de Bell de $f$ módulo $p$ como:

f_{p}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }f(p^{n})x^{n}.

Se puede demostrar que dos funciones multiplicativas son idénticas si todas sus series de Bell son iguales; esto a veces se llama teorema de unicidad. Dadas las funciones mutiplicativas $f$ y $g$ , se tiene que $f=g$ si y sólo si:

f_{p}(x)=g_{p}(x)

para todos los primos

p

.

Dos series pueden ser multiplicadas (a veces llamado como teorema de multiplicación): Para dos funciones aritméticas cualesquiera $f$ y $g$ , sea $h=f*g$ su convolución de Dirichlet. Entonces, para cada primo $p$ , se tiene que:

h_{p}(x)=f_{p}(x)g_{p}(x).\,

En particular, esto convierte en trivial el encontrar la serie de Bell de una inversa de Dirichlet.

Si $f$ es completamente multiplicativa, entonces:

f_{p}(x)={\frac {1}{1-f(p)x}}.

Ejemplos

A continuación se muestran las series de Bell de funciones aritmética muy conocidas.

La función de Möbius $\mu$ tiene $\mu _{p}(x)=1-x.$
Función φ de Euler $\varphi$ tiene $\varphi _{p}(x)={\frac {1-x}{1-px}}.$
La identidad multiplicativa de la convolución de Dirichlet $\delta$ tiene $\delta _{p}(x)=1.$
La función de Liouville $\lambda$ tiene $\lambda _{p}(x)={\frac {1}{1+x}}.$
La función potencia Id_k tiene $({\textrm {Id}}_{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-p^{k}x}}.$ Aquí, Id_k es la función completamente multiplicativa $\operatorname {Id} _{k}(n)=n^{k}$ .
La función divisor $\sigma _{k}$ tiene $(\sigma _{k})_{p}(x)={\frac {1}{1-(1+p^{k})x+p^{k}x^{2}}}.$